3. 伯克利基数(Berkeley cardinal)：标准定义，对任意包含κ的传递集M及任意α＜κ，存在非平凡初等嵌入j:M→M，满足α＜crit(j)＜κ。伯克利基数比Reinhardt基数更强，且与选择公理(AC)不相容。
二、强化伯克利基数：1. HOD-Berkeley基数：限制在HOD(遗传序数可定义集)内的伯克利基数，即对HOD中任意包含κ的传递集M及任意α＜κ，存在非平凡初等嵌入j:M→M，满足α＜crit(j)＜κ。HOD-Berkeley基数弱于完整伯克利基数(因限制在更小的HOD模型中)。
2. club Berkeley基数(闭无界伯克利基数)：正则基数κ，满足对κ的任意闭无界子集C及任意包含κ的传递集M，存在非平凡初等嵌入j:M→M，其临界点crit(j)∈C。club Berkeley基数强于普通伯克利基数，且每个club Berkeley基数都是完全Reinhardt基数。
3. limit club Berkeley基数(极限闭无界伯克利基数)：既是club Berkeley基数，又是伯克利基数的极限。比普通club Berkeley基数更强，其结构(V?, V???)满足“存在超Reinhardt伯克利基数”。
4. rank Berkeley基数(秩伯克利基数)：由Schlutzenberg引入，定义为对所有大于λ的序数η及任意α＜λ，存在非平凡初等嵌入j:V?→V?，满足α＜crit(j)＜λ 。rank Berkeley基数强于普通伯克利基数，且与Vopěnka原理有密切联系。
三、特殊伯克利基数：- Θ-Berkeley基数：与Θ(所有序数可定义实数集的序型)相关的伯克利基数，如AD?公理下ω?是club Θ-Berkeley基数。
- X-闭rank Berkeley基数：附加X-闭条件的rank Berkeley基数，要求嵌入j满足j(X)=j[X] 。
关键关系说明：1. 最小伯克利基数=最小proto-Berkeley基数(δ?)。
2. α-proto-Berkeley基数δ?随α增大而递增，且每个δ?都是伯克利基数。
3. club Berkeley基数＞普通伯克利基数＞proto-Berkeley基数。
4. limit club Berkeley基数＞club Berkeley基数。
5. rank Berkeley基数＞普通伯克利基数 。
6. HOD-Berkeley基数＜完整伯克利基数。
总结完整排序(从低到高)：proto-Berkeley基数(δ?) → α-proto-Berkeley基数(δ?, α＞0) → 伯克利基数 → HOD-Berkeley基数 → club Berkeley基数 → limit club Berkeley基数 → rank Berkeley基数 → X-闭rank Berkeley基数。
伯克利基数的某些变体间关系(如club Berkeley与rank Berkeley)尚未完全确定，上述排序基于当前已知的一致性强度关系……
莱因哈特基数（Reinhardt Cardinal），莱因哈特基数是ZF集合论中最强的大基数之一，由William N. Reinhardt于1967年提出，核心是全宇宙自嵌入的临界点，与选择公理（AC）不相容。以下从定义、形式化、核心定理、性质、变体、强度与哲学意义展开。
本质：存在一个从集合宇宙 V 到其自身的非平凡初等映射 j，\kappa 是第一个被 j 移动的序数，即 j(\kappa) ＞ \kappa。
位置：在大基数谱系中，它是最强的概念之一，远超可测、超强等基数。
一、核心定义（最本质）：1. 标准定义（ZF框架），基数 κ 是莱因哈特基数，当且仅当：存在非平凡初等嵌入，j:V\to V，使得 crit(j)=κ（临界点）。
非平凡：j≠\text{id}_V（不是恒等映射）。
初等嵌入：对任意集合论公式 \phi(x_1,...,x_n)，V\models\phi(a_1,...,a_n)\iff V\models\phi(j(a_1),...,j(a_n))临界点 crit(j)：最小的序数 \kappa 满足 j(\kappa)＞\kappa。
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