他抬起头，目光再次落在那道题目上，眼神中闪过一丝玩味。
“这道题的结构，其实还挺漂亮的。如果换个角度看，会不会有更……有趣的风景呢？”
在“灵感火花·必中”被动技能的加持下，无数的数学思想如同夜空中璀璨的星辰，在他脑海中交相辉映。
他拿起旁边的草稿纸，嘴角勾起一抹只有他自己才能理解的笑容。
“那么，我们来玩点不一样的。”
第一种巧妙解法：利用裴蜀定理与最大公约数的性质
秦风的笔尖在草稿纸上飞快地勾勒起来。
他首先指出，由条件1可知，如果 x1,x2,…,xm∈Sx_1, x_2, \dots, x_m \in Sx1,x2,…,xm∈S，那么它们的任意正整数系数线性组合 ∑cixi\sum c_i x_i∑cixi（其中 ci∈Z+c_i \in \mathbb{Z}^+ci∈Z+）也在 SSS 中（通过反复作加法得到）。
然后，他考虑集合 SSS 中所有元素的最大公约数，记为 D=gcd?(S)D = \gcd(S)D=gcd(S)。根据裴蜀定理的推广，必然存在 SSS 中的有限个元素 s1,s2,…,sps_1, s_2, \dots, s_ps1,s2,…,sp 以及整数 c1,c2,…,cpc_1, c_2, \dots, c_pc1,c2,…,cp，使得 ∑cisi=D\sum c_i s_i = D∑cisi=D。
“这里的关键在于，我们能否保证这些系数 cic_ici 都是正的，或者通过 SSS 的加法封闭性构造出 DDD。”秦风心中暗忖。
他迅速调整思路：“不直接用裴蜀定理构造 DDD。而是证明，如果 D=gcd?(S)D = \gcd(S)D=gcd(S)，那么对于足够大的 NNN，所有大于等于 NNN 且是 DDD 的倍数的整数，都可以表示成 SSS 中元素的正整数系数线性组合，从而属于 SSS（这是一个经典的Frobenius Coin Problem的推广思想，虽然不完全一样）。”
“更直接地，”秦风的思路再次跳跃，“设 d=gcd?(S)d = \gcd(S)d=gcd(S)。那么 SSS 中的所有元素都是 ddd 的倍数。令 S?={s/d∣s∈S}S^* = \{s/d | s \in S\}S?={s/d∣s∈S}。则 S?S^*S? 是一个由正整数构成的集合，满足加法封闭性，且 gcd?(S?)=1\gcd(S^*) = 1gcd(S?)=1。根据一个已知的数论结论（或可以现场证明的引理）：一个满足加法封闭且最大公约数为1的正整数集合，必然包含从某个整数开始的所有连续整数（或者说，除了有限个整数外，包含所有足够大的整数）。结合条件2中 SSS 有下界 kkk，可以推导出 S?S^*S? 的结构，进而得到 SSS 的结构。”
这个思路，巧妙地运用了最大公约数的性质和数论中关于加法半群的结构定理，比常规的构造法显得更为凝练和深刻。
坐在秦风斜后方的李傲天，原本还在为第一题的常规解法苦苦思索，偶尔用眼角的余光瞥见秦风在草稿纸上写下的那些关于 gcd?(S)\gcd(S)gcd(S) 和裴蜀定理的符号，以及一些他看不太懂的集合变换，心中顿时掀起了惊涛骇浪。
“他……他在干什么？难道这道题还能用最大公约数来解？我怎么从来没想过这个方向？”李傲天感觉自己的脑子有点不够用了。他引以为傲的数学直觉，在秦风面前，仿佛变成了一个笑话。
苏沐橙也注意到了秦风草稿纸上的动静。她那双清冷的眸子里，第一次露出了难以置信的神色。她能隐约看出秦风似乎在运用某种与整除性密切相关的深刻理论，但具体的推导路径，却让她感到一阵目眩神迷。
“这个秦风……他的数学功底，究竟有多深？”苏沐橙心中暗道，第一次对一个同龄人产生了如此强烈的“不可测”的感觉。
而秦风，在写完第一种巧妙解法后，并没有停歇。他舔了舔有些发干的嘴唇，眼神中的光芒更盛了。
“还不够……这种程度的‘变形’，还不足以展现这道题的全部魅力。”
他的目光，投向了更深邃的数学领域。
第二种巧妙解法：引入抽象代数——幺半群与理想的视角
秦风的笔尖再次在草稿纸上舞动起来，这一次，他写下的符号，开始变得更加抽象和……诡异。
他将集合 SSS 视为自然数加法半群 (N+,+)(\mathbb{N}^+, +)(N+,+) 的一个子半群。
小主，这个章节后面还有哦，请点击下一页继续阅读，后面更精彩！
喜欢学神系统：爆肝高考全科满分请大家收藏：(m.xtyxsw.org)学神系统：爆肝高考全科满分天悦小说网更新速度全网最快。