这带来强大的预测能力:如果你知道某个过程的初始条件和微分方程,理论上你可以预测它未来任意时刻的状态。
“那不就是拉普拉斯妖吗?”
林默说,“知道宇宙所有粒子的位置和动量,就能预测整个未来。”
“类似,”极限审判者点头,“但更深刻。分析圣域的‘预言真理’基于微分方程的解存在唯一性定理。给定初始条件,未来是确定的。”
苏夜离皱眉:“那自由意志呢?如果未来都确定了,我们还有选择吗?”
极限审判者看了她一眼:“自由意志是连续性假设下的幻觉。你的每个选择,都是你大脑状态微分方程的唯一解。”
这话让人不舒服。
陈凡反驳:“但量子力学有不确定性。”
“那是你们的世界。”
极限审判者说,“在数学宇宙的分析圣域,我们处理的是理想的连续模型。量子效应是高阶修正,可以忽略。”
他们来到一座建筑前。
这建筑没有棱角,所有转角都是光滑曲线,像是一个巨型参数方程描述的曲面。
“这是连续神殿。”
极限审判者说,“通过这里的考验,你们可以进入可微区。通不过,就只能永远留在连续区——还算安全,但学不到真正的分析真理。”
神殿大门光滑地滑开。
里面是一个无限长的走廊,两侧墙壁在不断变化,但变化是连续的。
“考验很简单:穿过走廊,到达另一端。但走廊的‘连续性’由你们自己定义。如果你们定义的连续性不够强,走廊会出现断裂,你们会掉进‘间断深渊’。”
这听起来抽象。但一进入走廊,陈凡就明白了。
脚下的路开始变化。
有时是实的,有时虚化。
关键是:这种变化必须是连续的。你不能让实的部分突然变成虚的,必须有个过渡——比如先半实半虚,再渐渐全虚。
团队必须共同定义一个“连续性标准”,然后用这个标准维持走廊的存在。
“用极限定义吧。”
林默提议,“对于路径上的每一点,左极限等于右极限等于函数值。”
这是数学分析中最基本的连续性定义。
他们尝试。
走廊稳定了。
但走了几步,问题来了:萧九蹦跳了一下。
猫的移动不是光滑连续的,它有时会跳跃。这一跳,在它落脚的点,左极限(跳起前的位置)和右极限(跳落后的位置)不相等——跳过了中间点。
走廊在那个点出现裂缝。
“喵嗷!”萧九差点掉下去,被冷轩一把捞起。
“不行,”陈凡说,“极限定义太严格,容不下跳跃。我们需要更宽容的连续性。”
苏夜离说:“用情感连续性——即使物理跳跃,情感连接是连续的。我跳向陈凡,中间位置空了,但我的情感意向一直指向他,这是连续的。”
他们尝试情感连续性定义。走然接受了。
萧九可以跳了,因为它的“猫性意向”是连续的——就是想往前,中间怎么动不重要。
但新问题:直角审判者有时会突然“直角化”,身体部分变成严格直角。
这在情感连续性中没问题,但在几何上,直角是突变——曲率从零突然变成无限大(在转角处)。
走廊在直角处出现裂缝。
“需要包容几何突变,”
平面狂热者说,“用弱连续性——只要测度意义上连续就行,允许奇异点。”
他们调整定义。走廊变得更宽容,允许跳跃、允许直角、允许各种奇异,只要这些奇异点的“测度”为零——在无限细分的意义上不占比重。
终于,走廊稳定了。团队走到了另一端。
极限审判者在终点等着:“你们定义的连续性很……实用。不是最优雅的数学定义,但有效。通过。”
他打开下一扇门:“可微区。那里的要求更高:不仅要连续,还要可微——变化率也要连续。”
可微区的景象让林默深吸一口气。
这里的一切都在“求导”。
你看到一棵树,同时能看到它生长速率的分布场。
你看到一条河,同时能看到流速的梯度场。
所有变化率都是连续的,没有突然加速或减速。
“这里的真理是:只要你知道当前位置和当前速度(一阶导数),理论上可以预测短时间内的未来。”
极限审判者说,“当然,如果需要更长期预测,还需要更高阶导数——加速度、加加速度等等。”
可微神殿的考验是“导数的协调”。
团队需要共同构造一个“可微函数”,描述他们在这个空间中的联合状态。这个函数必须在每一点都可微,且导数协调——不能出现A的导数要求往东,B的导数要求往西的矛盾。
陈凡的自由意志作为自变量。苏夜离的情感作为因变量之一。
冷轩的剑意作为另一个因变量。林默的理性作为第三个。
萧九的猫性、选择者7号的不确定性、三个新成员的特性……所有这些需要构成一个多元可微函数。
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