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第243章 本征宇宙的命运

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当看到这么多一级文明大世界的恒星和星系团的命运竟然是这样的,你是什么感觉?

就跟我们对待大海里的珍珠一样的命运,到了二级文明大世界的环境就是一个装饰品的命运。

在走到一处门店前时,我们看到一颗类似地球的玩意,因为在黑洞超级大的重力环境中,本来直径几万公里的球体,在这里,只有篮球大小的一颗,还被这些海族用一根海龙筋穿透,像单摆一样挂在一个装饰精美的门架上,来回的摆动着,运动轨迹如下:

单摆的常微分方程推导

单摆的运动可以通过牛顿第二定律来描述,该定律表明物体的加速度与作用在物体上的合外力成正比,并与物体的质量成反比。对于单摆,当摆角较小(通常小于10°)时,可以将摆球的运动简化为沿着圆弧路径的简谐运动。在这种情况下,可以将重力分解为两个分量:一个沿圆弧切线方向的分量,提供恢复力;另一个垂直于切线方向的分量,提供向心力。

牛顿第二定律的应用

设单摆的长度为 ( L ),摆球的质量为 ( m ),重力加速度为 ( g ),摆角为 ( \theta )(以弧度为单位),则重力沿圆弧切线方向的分量为 ( mg\sin(\theta) )。根据牛顿第二定律,这个分量产生的加速度 ( a ) 可以表示为:

[ ma = mg\sin(\theta) ]

由于 ( a = L\frac{d^2\theta}{dt^2} ),可以将上述表达式重写为:

[ mL\frac{d^2\theta}{dt^2} = mg\sin(\theta) ]

简化得到单摆的常微分方程:

[ \frac{d^2\theta}{dt^2} = -\frac{g}{L}\sin(\theta) ]

小角度近似

当摆角 ( \theta ) 非常小,即 ( \sin(\theta) \approx \theta ) 时,可以进一步简化上述微分方程为:

[ \frac{d^2\theta}{dt^2} = -\frac{g}{L}\theta ]

这是一个典型的简谐运动的微分方程,其解是一个角位移与时间的正弦(或余弦)函数。

能量守恒法

另一种推导单摆微分方程的方法是基于能量守恒定律。在没有非保守力(如空气阻力)的情况下,单摆的总机械能(动能加势能)是守恒的。通过设置动能和势能的表达式,并应用能量守恒定律,可以得到同样的微分方程。

以上是单摆常微分方程的基本推导过程。在实际应用中,这个方程可以用于分析单摆的运动特性,包括周期、振幅等参数的计算.

若是你不好理解,那么接下来我更进一步给你解释一下:

单摆常微分方程的详细叙述

单摆的运动可以通过多种不同的数学模型来表达,每种模型都从不同的物理视角出发,揭示单摆运动的本质。以下是对之前列出的8种单摆常微分方程形式的详细叙述:

牛顿第二定律形式: [ \ddot{\theta} + \frac{g}{L}\sin(\theta) = 0 ] 这是最基本的单摆微分方程,它直接来源于牛顿第二定律,描述了摆角随时间变化的二阶微分方程。

拉格朗日形式: [ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{\theta}}\right) - \frac{\partial T}{\partial \theta} + \frac{\partial V}{\partial \theta} = 0 ] 这里 ( T = \frac{1}{2}mL^2\dot{\theta}^2 ) 是动能,( V = -mgL\cos(\theta) ) 是势能。拉格朗日方程通过能量的视角来描述单摆的运动。

哈密顿形式: [ \dot{p} = -\frac{\partial H}{\partial \theta}, \quad \dot{\theta} = \frac{\partial H}{\partial p} ] 其中 ( H = \frac{1}{2}mL^2\dot{\theta}^2 - mgL\cos(\theta) ) 是哈密顿量,( p = mL\dot{\theta} ) 是角动量。哈密顿方程在动力学中用于描述系统的演化。

角动量守恒形式: [ mL^2\ddot{\theta} = -mgL\sin(\theta) ] 这是基于角动量守恒原理的单摆微分方程,直观地展示了力矩与角加速度的关系。

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