《九章算术》中还有求最大公约数和约分的方法。
求最大公约数的方法称为“更相减损”法,其具体步骤是“可半者半之,不可半者,副置分母子之数,以少减多,更相减损,求其等也。以等数约之。”
这里所说的“等数”就是最大公约数。
可半者是指分子分母都是偶数,可以折半的先把它们折半,即可先约去2。
不都是偶数了,则另外摆(即副置)分子分母算筹进行计算,从大数中减去小数,辗转相减,减到余数和减数相等,即得等数。
在《九章算术》的第二、三、六等章内,广泛地使用了各种比例解应用问题。
粟米章的开始就列举了各种粮食间互换的比率如下:“粟米之法:粟率五十,粝米三十,粺米二十七,糳米二十四,……”这是说:谷子五斗去皮可得糙米三斗,又可舂得九折米二斗七升,或八拆米二斗四升,……。
例如,粟米章第一题:“今有粟米一斗,欲为粝米,问得几何”。
它的解法是:“以所有数乘所求率为实,以所有率为法,实如法而一”。
《九章算术》第七章“盈不足”专讲盈亏问题及其解法其中第一题:“今有(人)共买物,(每)人出八(钱),盈(余)三钱;人出七(钱),不足四(钱),问人数、物价各几何”,“答曰:七人,物价53(钱)。”
“盈不足术曰:置所出率,盈、不足各居其下。令维乘(即交错相乘)所出率,并以为实,并盈,不足为法,实如法而一……置所出率,以少减多,余,以约法、实。实为物价,法为人数”。
盈不足术是中国数学史上解应用问题的一种别开生面的创造,它在中国古代算法中占有相当重要的地位。
盈不足术还经过丝绸之路西传中亚阿拉伯国家,受到特别重视,被称为“契丹算法”,后来又传入欧洲,中世纪时期“双设法”曾长期统治了他们的数学王国。
几何
《九章算术》总结了生产、生活实践中大量的几何知识,在方田、商功和勾股章中提出了很多面积、体积的计算公式和勾股定理的应用。
《九章算术》方田章主要论述平面图形直线形和圆的面积计算方法。
《九章算术》方田章第一题“今有田广十五步,从(音纵zong)十六步。问为田几何。”“答曰:一亩”。
这里“广”就是宽,“从”即纵,指其长度,“方田术曰:广从步数相乘得积步,(得积步就是得到乘积的平方步数)以亩法二百四十步(实质应为积步)除之,即亩数。百亩为一顷。”当时称长方形为方田或直田。称三角形为圭田,面积公式为“术曰:半广以乘正从”。
这里广是指三角形的底边,正从是指底边上的高,刘徽在注文中对这一计算公式实质上作了证明:“半广者,以盈补虚,为直田也。”“亦可以半正从以乘广”(图1-30)。盈是多余,虚乃不足。
“以盈补虚”就是以多余部分填补不足的部分,这就是中国古代数学推导平面图形面积公式所用的传统的“出入相补”的方法,由上图“以盈补虚”变圭田为与之等积的直田,于是得到了圭田的面积计算公式。
方田章第二十七、二十八题把直角梯形称为“邪田”(即斜田)它的面积公式是:“术曰:并两邪(即两斜,应理解为梯形两底)而半之,以乘正从……,又可半正从……以乘并。”
刘徽在注中说明他的证法仍是“出入相补”法。在方田章第二十九、三十题把一般梯形称为“箕田”,上、下底分别称为“舌”、“踵”,面积公式是:“术曰:并踵舌而半之,以乘正从”。
至于圆面积,在《九章算术》方田章第三十一、三十二题中,它的面积计算公式为:“半周半径相乘得积步”。这里“周”是圆周长,“径”是指直径。这个圆面积计算公式是正确的。只是当时取径一周三(即π≈3)。于是由此计算所得的圆面积就不够精密。
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