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第1127章 霍奇猜想的新思路

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大概是在年初那会儿,陆舟还没有将陈阳从燕大数学中心挖来的时候,这位陈教授便在研究霍奇猜想了。

陆舟还记得,当时他在黑板上研究自己的超椭圆曲线分析法,并且用了一种非常巧妙的方法,将这个原本为准黎曼猜想设计的数学工具,改进之后直接运用在了对非奇异复代数簇的代数拓扑,以及其定义子簇的多项式方程所表述的几何关联问题的研究上。

当初也正是因为这一手漂亮的操作,让陆舟不禁动了爱才之心,将他从燕大数学中心挖到了金陵这边来。

现在已经过去快一年了,关于霍奇猜想的课题仍然没有丝毫的进展,再加上前段时间一直在忙代数几何统一理论的事情,以至于陆舟都快把这件事给忘了。

“走,去我办公室说。”

带着陈阳来到了自己的办公室,陆舟亲自去墙角帮他拖来了一张白板,并且将自己的记号笔递到了他的手上。

没有将时间浪费在客套上,接过了笔之后,站在白板前的陈阳思索了片刻,首先在白板上随手画了个圆,然后在旁边标记了S,并写下了一行表达式。

“……对于紧致无边的曲面S,其Gauss曲率K可以在整个曲面上进行积分。”

一边写着,陈阳一边继续说道。

“众所周知的是,一个曲面不一定只容有一个度量,所以我尝试对S的度量进行了更换。在更换了度量之后,相应的Gauss曲率K同样也会发生改变,但积分值却与曲面的度量无关,而只与曲面的Euler示性数X(S)有关,利用这一性质,我们可以——”

看着白板上的算式,陆舟眉毛轻轻抬了下,饶有兴趣地说道。

“Gauss-Bonnet公式?”

手中的笔停住,陈阳点了下头说道。

“正是。”

说罢,他将Gauss-Bonnet公式写了上去。

看到这画龙点睛的一笔,陆舟的脸上感兴趣的神色愈发浓烈了。

事实上,他大概已经猜到,陈阳是打算干什么了。

根据高维黎曼流形M的性质,Gauss曲率可以推广为截面曲率,它的值可以由黎曼曲率的张量决定。至于其被积函数,则是由曲率张量组成的很复杂的代数式——即Gauss-Bonnet被积函数。

至于其在整个流形上的积分,则是由这个流形的Euler示性数X(M)所决定。

利用这些性质,便能够将Hodge理论推广到完备非紧流形中。

这些深刻的数学意义,是由陈省身教授得到的,也就是着名的Gauss–Bonnet–陈公式中的数学内涵。

再结合阿提亚爵士的L2上同调方法,沿着这条思路继续走下去,搞不好还真能把这个猜想给证出来。

当然,具体该如何证明,还需要深入研究一下就是了。

想到这里,陆舟赞许地点头。

秒啊。

实在是妙。

不知何时,陈阳的背后已经站了一圈人。

早在他刚刚开始板书的时候,办公室里的人便注意到了这边。

盯着白板上的算式,季默两眼发光,激动的小声说道:“这,难道就是传说中的——”

见自己师弟说话又只说了一半,何昌文皱了下眉头,低声道:“到底是啥,别卖关子。”

季默奇怪地看了他一眼。

“霍奇猜想啊!很明显嘛。”

何昌文:“……”

这特么哪里明显了?!

不过仔细一看,好像确实是这样。

想到这里,何昌文不禁在心中安慰了自己一句。

嗯,如果认真看的话,他应该也是能看出来的。

白板上的笔停下了,陈阳陷入了沉思。

显然,这条思路他只走到了一半,后面该怎么走还没有很好的想法。

不知何时来的办公室,站在旁边一直沉默不语的佩雷尔曼教授,忽然开口说道。

“这条思路看起来有点意思。”

回头看向了佩雷尔曼教授,陈阳微微愣了下,有些意外地说道。

“您是什么时候过来的?”

“大概在你写到一半的时候……本来我是来找陆教授的,没想到在这里还有意外收获,”停顿了一下,佩雷尔曼继续说,“……可以给我用下笔吗?”

没有任何的犹豫,陈阳果断将手中的记号笔让了出来。

从陈教授的手中接过了笔,站在白板前的佩雷尔曼沉思了片刻,随后在他的算式下面空了几行,继续写了起来。

“既然有现成的代数几何统一理论可以运用,式(3)的证明我就省略了。”

“……我的建议是,对于之后部分的证明,我们可以将紧流形M问题提升到它的通用复盖流形上,得到完备非紧流形M。”

“根据阿提亚的定理,如果我们能在截面曲率的条件下证明除了中间的L2同调群其余都为零……”

说着,他手中的笔轻轻抖了一下,很快写下了一行简洁而优美的算式。

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