定义2.6(武丁，1999)假设A?R具有通用贝尔性质，M是ZFC的传递模型。称M是强A-封闭的当且仅当对任意N，如果N是传递的且是M的脱殊扩张，则A∩N∈N
定义2.7(武丁，1999)假设W是真类。假设T是可数理论，σ是语句，则T├Ωσ当且仅当存在A?R:
1.A是通用贝尔集;
2、对任意可数传递模型M，若M是强A-封闭的且T∈M，则M╞“T╞Ωσ”。
定理2.8(武丁，1999)假设W是真类，并且假设T是可数理论，σ是语句，则对任意完全布尔代数B，
T├Ωσ当且仅当VB╞“T╞Ωσ”。
定理2.9(武丁，1999)假设W是真类。如果T├Ωσ，则T╞Ωσ。
几猜想假设W是真类。对任意语句σ，╞Ωσ当且仅当├Ωσ
叙述了什么是几猜想，我们就可以回到武丁的回应上了:
定理2.10假设W是真类且几猜想成立，则Vn在集合VΩ(H(δ0+))中是递归的。根绝前面的分析，这实际上是说脱殊多宇宙立场违反了第一多宇宙定律。而下面的定理则是说，这一立场同样违反第二多宇宙定律。
定理2.11假设W是真类并且Ω猜想成立，则V在集合H(δ0+)中可定义。所以，脱殊多宇宙真理观不过是一种更为精致的形式主义。当然，这种站在柏拉图主义立场上的挑战要依赖于Ω猜想的成立与否。接下来我们讨论一些更新的进展，它们似乎在某种意义上暗示这个猜想是真的。
3终极L理论
Ω猜想如果不成立，那一定是因为某个大基数公理，而且这个大基数公理超出了现有内模型计划。所谓“内模型计划”指的是构造一个类似于L的模型，在其中某个大基数公理成立。这项研究计划的动机源自于斯科特(D.Scott)的以下定理:
定理3.1(斯科特，1961)假设存在一个可测基数，则V≠L。
也就是说，哥德尔的L不能容纳可测基数，当然也不能容纳更大的基数。所以，这样的问题自然就被提了出来:
是否存在一个类似于L的模型，它能容纳可测基数或更大的基数?
很快，库能(K.Kunen)证明了
定理3.2(库能，1970)假设U是κ上的κ完全的正则非主超滤，则在L[U]中，κ是一个可测基数，并且是唯一的可测基数
这实际地开启了内模型的研究计划，并且在随后的年代里，这个计划取得了相当的成功。目前人们已经能够构造可以容纳强基数的内模型。
但是，Ω猜想与已有的具有内模型的大基数都是相容的，所以要证明它不成立，我们需要容纳更大无穷的内模型。不唯如此，能证明Ω猜想不成立的大基数公理一定在大基数层谱中处于一个十分关键的位置，这一位置必定会有“来自内模型理论的证据”。(参见[9])
另一方面，如果Ω猜想在所有已知的大基数公理下都成立，那就是猜想在 V中成立的强烈依据。而武丁有关终极L的研究表明，所有的证据都显示，没有任何已知的大基数公理会否证猜想。我们以下简述这一重要的思想。(在以下的讨论中，所有未注明的定理和定义都属于武丁。)
如果存在可测基数，则V≠L，所以L虽然具有很好的结构性质，并且V=L 可以解决包括CH在内的独立性问题，但它不可能是新公理的候选，L与V相差太远了。库能的L[U]可以容纳可测基数，在这个意义上比L更接近V。但是，L［U ]中只有一个可测基数，它甚至不能容纳第二个可测基数，更不必说更大的基数了。所以，最终的任务就成了构造一个可以容纳所有大基数的类L结构，人们将这样的结构称为“终极L”。这看起来是不能完成的任务，因为在构造容纳大基数的内模型的过程中，人们发现每向上一步，都只能得到仅仅包含一个相应大基数的模型，要想容纳所有的大基数，我们有无穷多个内模型需要构造。但是，武丁的一个重要发现彻底改变了这种情形，这又需要一些新的数学定义:
定义3.3假设N是一个ZFC的模型，δ是一个超紧基数，如果对任意λ＞δ，存在Pδ(λ)一个δ-完全的正则精良超滤U满足:
(1) Pδ(λ)∩N∈U;
(2) U∩N∈N，
就称N是关于δ是超紧基数的弱扩张子模型(weak extender model)。
弱扩张子模型之所以重要，是因为它有我们需要的性质。首先，它十分接近V。就我们目前的问题而言，这意味着它有正确的基数概念。
定理3.4假设N是关于δ是超紧基数的弱扩张子模型，并且在N中，λ＞δ是正则基数，则在V中，cf(λ)=|λ|。特别地，如果λ在V中依然是基数，则它在 V中是正则的。
本小章还未完，请点击下一页继续阅读后面精彩内容！
喜欢求道九州请大家收藏：(m.xtyxsw.org)求道九州天悦小说网更新速度全网最快。